小学数学“数概念”教学：内涵、价值及策略

横林实验小学 杨奕

摘要：“数概念”是指分数、负数、平均数等与“数”有密切关系的概念，是小学数学教学的重要组成部分，是学生进一步学习数的运算、与数有关的数学问题的基础，是培养学生数感、符号感的重要载体。

关键词：数概念 缺失现象 基本内容 意义 基本策略

概念是思维的基本形式之一，是对一切事物进行判断和推理的基础。数学概念是构成数学知识的基础，是基础知识和基本技能教学的核心，正确地理解数学概念是掌握数学知识的前提。“数概念”是指分数、负数、平均数等与“数”有密切关系的概念，是小学数学教学的重要组成部分，是学生进一步学习数的运算、与数有关的数学问题的基础，是培养学生数感、符号感的重要载体。因此“数概念”的教学是数学教学的一个重要方面。

一、当下小学“数概念”教学的缺失现象

现象1  让人啼笑皆非的答案

“一棵大树高3厘米”、“妈妈的体重是50克”、“小红每分钟走10米”……

诸如此类的话在我们的教学中时常听到，似乎也就见怪不怪了。但细细想来，这些让人啼笑皆非的答案就是与孩子“数感”迟钝有关。就像人们对于美学有“美感”，音乐有“乐感”，语文、英语有“语感”一样，每个人对于数和数学也有一定的“数感”。虽然不可能人人都成为数学家，但是教师应当有意识地从小培养孩子的数感，让他学会“数学地”思考问题。因为，作为一种心智技能，数感能够使孩子的思维更加敏捷，而且有助于提高孩子对数学的兴趣，为将来在数学学习中取得成功创造必要条件。

现象2  实际解决问题毫无头绪

在一次测验中，曾经有这样一题：“小红从1楼跑到3楼用了4秒，那么，她从1楼需要几秒？”我记得当时孩子都拿它没办法，答案最多的是8秒，原因是孩子们以为1楼到6楼的阶梯（路程）是1楼到3楼的2倍，自然就得出2×4=8（秒）的答案。

学生看到此类题毫无对策的原因是——孩子不了解楼层与阶梯之间的关系，而在实际生活中他们可以说是天天在接触楼房，天天会上下楼梯，可没有引起他们数学地审视它，以至于无法理解这个实际的生活问题背后隐藏的重要条件，更谈不上去解决它。

二、小学“数概念”教学缺失的原因分析

1.重结论，轻过程

教学中表现为重结论、轻过程，表现为教师读概念，引导学生读概念，让学生死记硬背定义；忽视概念的形成过程，缺乏对概念的讲解分析，缺乏对概念本质属性的理解和对概念外延的了解。如，有的学生能把分数的意义一字不落背下来，但不理解分数的意义，不理解分数单位，不能用分数的意义去解决问题，导致不能准确理解同分母分数加减法的法则，不能解释为什么“同分母分数加减，分母不变，分子相加减”的道理。不能理解“异分母分数加减，要先通分，然后按同分母分数加减法则，进行计算”的原理。学生进行计算，只能是仿照例题进行计算，知其然不知其所以然。

2.引入不当，缺乏科学性

由于教师学科素养不足和受日常概念的影响等原因，有的教师在概念教学时引入不当，缺乏科学性，导致对概念理解不准确。比如，下面是一位教师倒数教学实录。

师：今天我们先来做个游戏，游戏的名称叫做“倒着说”。例如，我说：“1、2”，你们就说：“2、1”；我说：“1、2、3”，你们就说：“3、2、1”；我说“老师爱我们”，你们齐说：“我们爱老师”。

师：在数学中这种现象也存在，比如：“八分之三”倒过来说成“三分之八”。

根据学生回答教师相继板书几组分数，引导学生观察比较，理解倒数的意义，探求倒数的求法。

这样的概念引入针对性不强，没有能够紧密结合概念的内涵实质，导致学生对概念的错误理解。

3.缺乏模型意识、不当建构

教学中还存在缺乏模型意识、不当建构的现象，这不仅导致概念理解不准确，还扼杀了学生思维，降低了概念教学的价值。有的教师缺乏模型意识，缺乏对教材的准确理解，比如，对分数概念的建构，教师没有理解教材为什么采用圆形模型，任意改换模型，导致概念建构困难。

三、小学“数概念”教学的基本内容

1.小学“数概念”的知识结构

小学阶段的数概念的认识主要有一至三年级的整数（自然数）认识、分数和小数的初步认识，四年级大数的认识，小数的再认识，五年级的分数的再认识，以及六年级正负数认识。其中一至三年级的整数认识由以下三个大的认识循环组成，即一年级百以内数的认识，二年级万以内数的认识，三年级多位数的认识。这样的认识过程反映的是一个数范围不断形成与扩大的生成发展过程，也是数概念不断建构与完善的认识超越过程。

表1.小学数概念的总结构关系表

从学生认识数的角度进行分析，小学阶段的整数认识、小数的认识、分数的认识和正负数的认识等，虽然表面上似乎各不相同，但是它们之间却有着本质的共同联系，这些数的认识几乎都要从以下几个方面进行：数的意义(数与社会生活的联系)、数的组成（基本的计数单位）、数的读写（根据数位顺序表读写数）、数的排序（大小比较）和数的分类等。在教学中我们应尽可能地帮助学生掌握知识的框架性结构，有了这样的把握，一方面有利于学生主动进入知识学习的状态之中；另一方面又可以为学生主动学习同类知识提供结构支撑。

2.“数概念”教学的目标

总目标：通过数概念知识的学习，学生不仅要认识各种抽象的符号意义上的数；而且要把握数概念认识的基本结构，即能够从数的意义、数的组成、数的读写、数的排序和数的分类等方面进行主动学习；同时了解整数、小数和分数之间的内在联系；以及建立基本的数感。

附：各年级数概念教学递进性目标

四、小学“数概念”教学对提升学生数学素养的重要意义

1.有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律。

“数概念”与学生的日常生活，现实世界和其他学科有着十分密切的联系，它所包含的主要内容都是研究现实世界数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度，更准确，清晰的认识，描述和把握现实世界。由此可见，学习“数概念”，可以帮助学生认识到数、符号是刻画现实世界数量关系和变化规律的重要语言，感受到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，体会数学与现实的密切联系，感受数学的价值，初步学会应用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科中的问题，形成初步的应用意识和解决问题的能力。

2.有助于学生形成运用数量关系进行思考的思维方式。

除了能解决实际问题外，“数概念”还提供了“运用数量进行思考”的思维方式，这种强有力的思维方式在现代社会中普遍适用。王梓坤先生在《今日数学及其应用》一文中指出：“当代科技的一个突出特点是定量化，人们在许多现代化的设计和控制中，从一个大工程的战略计划、新产品制作、成本结算、施工、验收，直到存储、运输、销售和维修等都必须十分精确地规定大小、方位、时间、速度、成本等数字指标。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求。”事实上，不仅是科技领域，人们在日常生活、工作甚至人文领域的研究中，也越来越依靠定量化的思考。上述进展都需要培养作为未来公民的学生，具有运用数量进行思考的信念和思维方式。

3.有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。

在提倡“人人学有价值的数学”的今天，将这一理念落实到中学阶段，就要求我们教师不仅仅要关注学生知识技能掌握如何，更要关注到学生的情感、态度、价值观和一般能力的培养。学生的思维能力、思想方法、习惯、情感和态度对于学生今后去创造生活有着不可估量的价值。“数概念”作为基础部分，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰的认识、描述和把握现实世界和解决现实世界的问题，有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。

五、小学“数概念”教学的基本策略

1.“数概念”的引入

⑴从实际引入

也可以说从直观引入，小学生认识事物、理解数概念主要是凭借事物的具体形象和表象进行的。在“数概念”的引入教学中，教师从比较熟悉的实际事物中，提供足够的直观感性材料，让学生通过看、听、摸、做等动作丰富他们的感性认识，使抽象的“数概念”具体化，从而引出“数概念”，同时学生的思维能力也得到发展。例如教学分数的初步认识时，开课伊始，通过分月饼，依次把月饼分成2份、3份、4份，每次取出一份，每份分别是月饼的、、，学生通过看、听、分、说等过程充分调动学生各种感官，明确分数的读法和写法，再在学生获得鲜明表象的基础上，让学生动手折一折，折出正方形的、、，在此水到渠成的“气候”下，上升到理性的认识，最后运用规范、准确、科学的数学语言进行恰当的概括，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，我们就说这个数是几分之一或几分之几，让学生充分经历“数概念”抽象与概括过程，从根本上把握“数概念”的来源。

⑵从旧知识引入

有些“数概念”与学生原有“数概念”联系十分紧密，可以从学生已有的“数概念”基础上加以引伸，导出新的“数概念”，如教学分数乘整数的意义时，就可以从整数引进板书，让学生观察算式的特点，以下这些算式表示什么意思？12×2   140×2   1.4×2   0.8×2    ×36    ×2在学生观察分析的基础上，指出分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，是求几个相同加数的和的简便运算，只不过相同的加数不是整数而是分数罢了。这样从已知到未知，把整数乘法意义小数乘法意义迁移到分数乘法意义的同时，既巩固发展了旧知识，沟通旧知识的联系，又学习了新的“数概念”的方法。还有利于精讲多练，其它如约数导出“公约数”、“最大公约数”，循环小数引入无限小数等。

⑶从计算引入

当通过计算能揭示数与形的某些内在矛盾或本质属性时，可以从计算引入概念。如教学“互为倒数”这个概念时，通过一组题让学生口算×；×5，×8，×……，算后让学生观察这些算式都是几个数相乘，它们的乘积是几，根据学生的回答，师指出像这样的乘积是1的两个数叫做互为倒数，学习最简分数、通分、约分、小数的乘除法都可以从计算引入。

2.“数概念”的理解

“数概念”的理解是教学的中心环节，教师要正确处理教材，采取合理的教学方法，帮助学生参与“数概念”的形成过程，使学生获得知识的同时，发展思维能力，以便让学生在理解的基础上掌握概念。

⑴剖析“数概念”中关键词语的真实含义。

理解概念的目的在于运用，而要学生正确、灵活地运用概念就必须正确、灵活地运用概念的组成判断，进行推理、计算等，而概念是几个关键词语的高度概括和集中体现，因此剖析概念中的关键词语是概念教学的重中之重。 
　　例如：循环小数定义中的“小数部分”、“依次”、“不断”、“重复”，学生只有清楚这些关键词语的真实含义，才会对循环小数的概念有深刻的理解。又如三角形的高的定义：“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条也叫做三角形的底。”这里的“一个顶点”、“垂线”、“垂足”都是关键词语。为了更好地让学生理解三角形的高，除了让学生理解字面意思外，还要学生通过实际操作，体会画“高”的整个过程。指出画“高”的关键是画垂线，并注意限制条件：“过三角形的一个顶点（可以是任何一个顶点），作它对边的垂线，顶点和垂足之间的线段。”这样把实际操作过程和所画三角形高的图形与定义叙述的内容对照，使学生准确理解三角形高的定义。所以对重点词语的分析是帮助学生认识概念的又一次提高，促进概念的深化理解。 

⑵对近似的“数概念”对比辨析。

在小学数学概念中有些含义非常接近，却有本质属性的差别，学生常常容易混淆，必须通过对比，找出概念间的相同和不同之处，以避免互相干扰。 
　　例如：在学习“整除”时，为了和以前学习的“除尽”加以比较。我设计了这样的练习题：下列等式中，哪些是整除，哪些是除尽？ 
　　①9÷3=3           ②24÷6=4 
　　③49÷11=4······5 ④12÷5=2.4 
　　⑤4÷0.5=8         ⑥3.5÷7=0.5 
　　学生通过分析、比较，从而得出：第③题是有余数的除法，肯定不能说被除数整除或除尽，其他各题都可以说被除数除尽。而只有第①②题被除数、除数和商都是整数，而且没有余数，这两题不但可以说被除数除尽，还可以说被除数整除。通过分析，学生明白：整除是除尽的一种特殊形式，除尽包括整除和一切商是有限小数的情况。

⑶变换本质属性的叙述或表达方式。

小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清楚，也不全面，把非本质的特征作为本质的特征。为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个侧面来理解概念。旨在从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达，如果学生对各种不同的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。

如在学习质数时，可以说是“一个自然数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。”有时也说成“仅仅能被1和它本身整除的数叫做质数。”如果学生对各种不同的叙述和表达能理解和掌握，就说明学生对“数概念”的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。

⑷以新旧概念联系促进知识的迁移 。
　　小学生的认识特点是由浅入深、由易到难、循序渐进。为了加强数学概念教学，教师必须认真钻研教材，掌握概念的系统，摸清概念发展的脉络。概念是逐步发展的，而且很多概念之间有密切的联系。不同概念具体要求不同，即使同一概念在不同的学习阶段的要求也是有所差别的。为了让学生更好地掌握概念，必须加强新、旧知识的联系，促进知识的迁移。 
　　例如：对分数意义的理解上有三次飞跃。第一次是学习小数以前，就让学生初步认识分数，“像上面讲的1/2、7/8、3/5、4/9等，都是分数”。通过大量直观感性认识，结合具体事物的描述得出什么样的数是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份都可以用分数表示。从具体事物中抽象出来，然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念，这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出把谁分谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更明确。这三个层次不是一蹴而就的，要展现知识发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中理解分数。

3.“数概念”的巩固

巩固“数概念”是识记“数概念”和保持“数概念”的过程；是加深理解和灵活运用“数概念”的过程；是防止“数概念”混淆的过程；因而复习课中可以使某一“数概念”在一系列的“数概念”中得以清晰建立，而且在强化知识系统性的同时从辩证观的高度有效地培养了学生的变通思维能力及思维的扩散性，梳理和深化知识间的联系，达到及时强化记忆，巩固“数概念”的目的。

⑴自举实例，提升认识

数学要从生活中来又要回到生活中去，所以从具体到抽象又回到具体，符合小学生的认知规律，使学生更准确把握“数概念”的圈定范围。如认识了偶数和奇数后，让学生在活动课中根据创设情境，能脱口指出排队人数、椅子数目、象棋个数的奇偶性，学生在活动中多角度地感知，从而悟到奇、偶判定的概念，提高学生对“数概念”的运用技能。

⑵练习反馈，升华知识

学生在学习的过程中会不断产生新的“数概念”，因此要借助复习课对数的概念模糊不清，对数的认识没有整体性，解决问题缺乏灵活性等问题进行整理和完善。如学完了数与代数，利用“数轴”（如下图）作为主线串起各种数的概念和意义，从整体上把握“数”，使学生更系统地构建“数”横向网络，对数的意义和种类进行整体回顾。

以上练习设计是用数轴串起各种数的概念要点，使学生对数的认识有了本质上的提高，并在此过程中渗透数轴上的每一个点都表示一个数，而每个数都能在数轴上表示出来这一数学思想。在复习课中除了填数轴以外，还设计了有关数的意义、数的读法和写法等有关练习，在练习中帮助学生形成“数概念”的纵向知识网络。

总之，概念是枯燥的、乏味的，但却是重要的，掌握正确的“数概念”是学习数学知识的基石，对于小学生我们不能一味奢求他们非常清楚学习数学概念的重要性，全力投入足够的时间和精力去学习数学概念，也不能单纯地依赖教师或家长的"权威"去强迫孩子们这样做。学生接受抽象“数概念”，需要我们教师积极地引领他们，精心设计，引领孩子，使之学得轻松，学得扎实，让他们真正体会到数学的魅力，让概念深入心中，为数学学习服务。