反比例的意义- 研究过程- 常州市武进区横林实验小学

【教学内容】

苏教版义务教育教科书《数学》六年级下册第61-62页例3、“试一试”、“练一练”和“你知道吗”，第63页练习十一第1-2题。

【教材简解】

本课教学内容是课程标准六年级（下）61页的“反比例的意义”。这部分内容是在学生已经学习了比和比例以及正比例的意义的基础上进行教学的。通过教学使学生结合实际情境认识成反比例的量，能根据反比例的意义判断两种相关联的量是否成反比例；使学生在认识成反比例的量过程中，进一步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化的不同数学模型，提升思维水平；体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识。

【目标预设】

1．使学生结合具体实例认识成反比例的量，理解反比例的意义，能依据反比例的意义判断两种相关联的量是不是成反比例，并能说明理由。

2．使学生在认识成反比例的量的过程中，体会数量之间的联系和变化关系，感受表示反比例数量关系及其变化规律的数学模型，渗透函数思想，进一步培养比较、综合和抽象、概括、演绎等思维能力。

3.使学生主动参与学习活动，进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

【教学重点】

认识和理解反比例的意义。

【教学难点】

发现和理解成反比例的量的变化规律。

【设计理念】

虽然反比例与正比例有明显的不同，但探索正比例关系的活动经验，仍然能应用于反比例的学习中。例3没有像例1那样，提出一系列连续的问题，而是直接提出“表中的两个量是怎样变化的？这种变化有什么规律”，给学生较大的探索空间。教材希望学生在表格的两组数据中看到：单价和数量是两种相关联的数量，单价变化会引起数量的变化；看到单价与数量变化时，总价始终不变，即单价与数量的乘积保持不变。于是得出描述这种变化的数量关系式“单价×数量=总价（一定）”。

【设计思路】

学生认识了成正比例关系的两种量，为探索发现成反比例关系的量提供了经验，所以先复习正比例的内容为接下来学习成反比例量的特点做好铺垫，同时也借机引入新内容。教学时，以学习正比例意义的经验为基础，先提出三个问题，让学生自主探究交流，在观察、比较、分析、综合的基础上，感受并概括规律。“试一试”是在学习例三3的基础上进行学习的，这一环节放手让学生独立探索发现，作出判断，并在此基础上自己思考成反比例量的关系式，得出反比例的意义。根据新知开展有层次，有针对性的练习，让学生进一步巩固和加深对反比例意义的理解。

【教学过程】

一、复习旧知

1．正比例关系的意义是什么?怎样用字母表示这种关系?

判断两种相关联量成不成正比例的关键是什么?

2．下面哪两种量成正比例关系?为什么?

(1)时间一定，行驶的速度和路程。

(2)数量一定，单价和总价。

3．引入新课。

如果总价一定，单价和数量之间会怎样变化呢，变化又有什么规律呢?这两种量又成什么关系呢?这就是今天这节课我们一起要来研究的新内容。

【设计意图：学生认识了成正比例关系的两种量，既能够判断两种量是否成正比例关系，又为探索发现成反比例关系的量提供了经验。这里复习正比例的内容，一方面可以巩固知识，体会两种相关联量的变化特点，为接下来学习成反比例量的特点做好铺垫，另一方面也引发了学生研究的需求，激发学习的动机。】

二、探索新知

（一）教学例3

1、六一儿童节快到了，班级里要购买活动奖品。王老师准备用60元钱去买笔记本，这是不同笔记本的单价和可以购买的数量情况。

课件出示例3的表格。

教师：下面就请大家根据表中的数据，以小组为单位依次讨论下面三个问题：

课件出示三个问题：

（1）当单价变化时，数量是否也随着变化？

（2）这种变化有没有规律？是什么规律？

（2）这种规律与成正比例的量的规律有什么不同？

2、全班交流：指名学生口答讨论的结果，得出：

（1）当单价变化时，数量也随着变化。

（2）这种变化还具有一定的规律，不管每次单价和对应的数量发生怎样的变化，它们的乘积总是60，也就是说总价都是60元。

（3）这种规律与我们上节课学习成正比例的量的规律是不同的，现在是两种数量的乘积总是一定的。

3、那你能用一个式子来表示上面三种数量之间的关系吗？指名回答。

课件出示：单价×数量=总价（一定）

4、小结：在这里，单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和对应数量的积总是一定（也就是总价一定）时，我们就说笔记本的单价和购买的数量成反比例，笔记本的单价和购买的数量是成反比例的量。

课件出示：笔记本的单价和购买的数量成反比例。

5、揭题：这就是我们今天要学习的反比例的意义。课件出示：反比例的意义

6、你能看着表格再完整地说一说表中笔记本的单价和数量成什么关系吗？

【设计意图：“反比例的意义”和“正比例的意义” 不仅教材编排相似，而且认识过程也类似。因此在教学时，可以以学习正比例意义的经验为基础，先提出三个问题，让学生自主探究交流，在观察、比较、分析、综合的基础上，感受并概括规律，这既是对反比例意义的直接感知和理解，又能培养学生发现和研究问题的能力。】

（二）教学“试一试”

1、你对反比例有一定的认识了吗？我们来试一试。课件出示“试一试”的题目

（1）请根据题中的条件完成表格，说说工作时间是随着哪个量的变化而变化的。

（2）算出相对应的两个数的乘积各是多少？

（3）引导：这个乘积表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与工作效率和工作时间之间的关系吗？（学生写出后，交流并板书）

（4）想一想，工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？（板书：工作效率和工作时间成反比例）

（三）用字母式子表示反比例的意义。

1、比较：上面例三与“试一试，”这两题中两种量之间的关系有什么共同的地方？先和同桌讨论。

学生汇报，明确：两题中的两个量都是相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化，并且两种量相对应的两个数的积是一定的。

启发：根据上面两个例子，你也能像学习正比例的意义时那样用一个字母式子来表示反比例的意义吗？

根据学生回答，教师板书：x×y=k（一定）

想一想，怎样的两种量能成反比例？我们是根据什么来判断的？

小结：判断两种量是否成反比例，一是看相关联的两种量，是否一种量变化，另一种量也随着变化；二是看两种量中对应数值的积是否一定。这就是我们今天学习的反比例的意义。

【设计意图：“试一试” 既是一个实例，又能加深对反比例意义的理解。有了学习例三3的基础，这一环节放手让学生独立探索发现，作出判断，并在此基础上自己思考成反比例量的关系式，得出反比例的意义，既达成本课的知识目标，又培养了学生的分析、概括和推理能力。】

三、巩固练习

1、完成“练一练”第1题

读题并出几组相对应数值的积。

提问：每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗？为什么？（根据交流板书关系式）

小结：每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例，因为每袋糖果的粒数×装的袋数=总的粒数（一定），所以每袋装的粒数和袋数成反比例。

2、完成“练一练”第2题

独立思考后，同桌相互交流。

集体交流，判断：每天运的吨数和需要的天数成不成反比例，并说明理由。，

指出：每天运的吨数和需要的天数是两种相关联的量，每天运的吨数×需要的天数=水泥的总吨数（一定），所以每天运的吨数和需要的天数成反比例。

2、完成练习十一第2题

学生自由读题，理解题意。

要求：分别收集图中的数据，填写在下面的表格中。

提问：根据两张表中的数据，想一想，长方形的面积一定，长与宽成反比例吗？为什么？长方形的周长一定，长与宽成反比例吗？为什么？把你的想法在小组里交流。

集体交流，引导学生判断并说明理由。

提问：两个长方形的长和宽都是相关联的量，为什么有的成反比例，有的不成比例？

明确：只有当两种相关联的量的乘积一定时，它们才成反比例。

【设计意图：针对教学重点和学生可能存在的困难，开展有层次，有针对性的练习，让学生进一步巩固和加深对反比例意义的理解。同时通过正比例与反比例的比较，帮助学生建立良好的认知结构，进一步掌握依据反比例意义判断两种量是否成反比例的方法，培养分析、推理、判断的能力。】

四、全课总结

1、总结交流：同学们，今天我们学习了什么内容？

2、阅读“你知道吗”。

通过阅读，你知道了什么？图像中点A和点B表示的实际意义各是什么？你还能说出其他各点表示的实际意义吗？

3、课堂作业：完成练习十一第1题。